A square park is surrounded by a path of uniform width 2 meters all around it. The area of the path is 288 sq. meters. Find the perimeter of the park.

ধরি, বর্গাকার পার্কটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = \(x\) মিটার।

পার্কটির ক্ষেত্রফল = \(x^2\) বর্গমিটার।

পার্কের চারপাশে 2 মিটার চওড়া একটি পথ রয়েছে। তাই পথসহ পার্কটির দৈর্ঘ্য হবে \(x + 2 + 2 = x + 4\) মিটার।

পথসহ পার্কটির ক্ষেত্রফল = \((x + 4)^2\) বর্গমিটার।

পথের ক্ষেত্রফল হলো পথসহ পার্কের ক্ষেত্রফল থেকে শুধু পার্কের ক্ষেত্রফল বিয়োগ করলে যা পাওয়া যায়।

প্রশ্নমতে, পথের ক্ষেত্রফল = 288 বর্গমিটার।

অতএব,

\[(x + 4)^2 - x^2 = 288\]

বীজগণিতের সূত্র \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) এবং \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\) ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।

পদ্ধতি ১: সম্প্রসারণ করে:

\[(x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - x^2 = 288\]

\[(x^2 + 8x + 16) - x^2 = 288\]

\[8x + 16 = 288\]

\[8x = 288 - 16\]

\[8x = 272\]

\[x = \frac{272}{8}\]

\[x = 34\]

পদ্ধতি ২: \(a^2 - b^2\) সূত্র ব্যবহার করে:

এখানে \(a = (x+4)\) এবং \(b = x\)

\[((x+4) + x)((x+4) - x) = 288\]

\[(2x+4)(4) = 288\]

\[8x + 16 = 288\]

\[8x = 288 - 16\]

\[8x = 272\]

\[x = \frac{272}{8}\]

\[x = 34\]

সুতরাং, বর্গাকার পার্কটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য 34 মিটার।

পার্কটির পরিসীমা নির্ণয় করতে হবে। একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = \(4 \times \text{বাহুর দৈর্ঘ্য}\)।

পার্কটির পরিসীমা = \(4 \times 34\) মিটার

পার্কটির পরিসীমা = \(136\) মিটার।